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那一座高耸的金字塔拉格朗日-数学史话

时间:2018-05-21 11:00来源:2018年最新注册送彩金www.zhixing123.cn 编辑:麦田守望者

在天文学上,有这样一个神奇的点,在每个由两大天体构成的系统中,有五个点相对于两大天体基本保持静止,其中有两个点是稳定的,小物体在该点处即使受外界引力的摄扰,仍然有保持在原来位置处的倾向。人们甚至设想把它当作拦截危险小行星的布防点。这个点就是拉格朗日点,它就是由本文的主角--法国数学家--拉格朗日(欧拉发现了3个,拉格朗日发现了剩余的两个)通过计算发现的。拿破仑说他是:"一座高耸在数学界的金字塔"。

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拉格朗日点

约瑟夫·拉格朗日于1736年出生在意大利的都灵,不过他的祖上是法国人。拉格朗日幼年时家道中落,还算幸运的是他还能上学,不过学的是古典文学。17岁时他读到了哈雷(正确预言了现被称为哈雷的彗星作回归运动的事实的那个人)写的一篇关于微积分的文章,他彻底被迷住了。在极短的时间内,他就掌握了他那时候的数学分析,开始了他数学史上最光辉的经历。

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拉格朗日

拉格朗日从一开始就跟几何说了再见,他从来都是一个分析学者。他在19岁的时候设想的《分析力学》就强烈地表现出他对分析学的偏爱。拉格朗日用分析解决力学问题,标志着与希腊传统的一次彻底决裂(我们知道,传统希腊数学是最注重几何的)。正是通过拉格朗日的努力,使数学分析与几何与力学脱离开来,数学的独立性更为清楚,从此数学不再仅仅是其他学科的工具。在对于分析学的开拓性工作上,拉格朗日是仅次于欧拉的最大的开拓者,具有决定性的贡献。

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数学分析教材

变分法是拉格朗日最早研究的领域,以欧拉的思路和结果为依据,但从纯分析方法出发,得到更完善的结果。他的第一篇论文"极大和极小的方法研究"是他研究变分法的序幕; 而"关于确定不定积分式的极大极小的一种新方法"是用分析方法建立变分法的代表作。拉格朗日方法是对积分进行极值化,函数y=y(x)待定。他不像欧拉和前人用改变极大或极小化曲线的个别坐标的办法,而是引进通过端点(x1,y1),(x2,y2)的新曲线y(x)+δy(x),δy(x)叫曲线y(x)的变分。J相应的增量△J按δy,δy'展开的一、二阶项叫一次变分δJ和二次变分δ2J。他用分析方法证明了δJ为零的必要条件就是欧拉方程。1770年以后,拉格朗日研究了被积函数f包含高阶导数的单重和多重积分时的情况,已发展成为变分法的标准内容。

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拉格朗日对变系数常微分方程研究做出重大成果。他在降阶过程中提出了以后所称的伴随方程,并证明了非齐次线性变系数方程的伴随方程的伴随方程,就是原方程的齐次方程。他还把欧拉关于常系数齐次方程的结果推广到变系数情况,证明了变系数齐次方程的通解可用一些独立特解乘上任意常数相加而成;而且在知道方程的m个特解后,可以把方程降低m价。在1774年完成的"关于微分方程特解的研究"中系统地研究了奇解和通解的关系,明确提出由通解及其对积分常数的偏导数消去常数求出奇解的方法;还指出奇解为原方程积分曲线族的包络线。拉格朗日在1772年完成的"论三体问题"中,找出了三体运动的常微分方程组的五个特解,这就是本文一开始所说的"拉格朗日点"的来历。

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常微分方程教材

拉格朗日是一阶偏微分方程理论的建立者,他在1772年完成的"关于一阶偏微分方程的积分"和1785年完成的"一阶线性偏微分方程的一般积分方法"中系统地完成了一阶偏微分方程的理论和解法。他首先提出了一阶非线性偏微分方程的解分类为完全解、奇解、通积分等,并给出它们之间的关系。

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偏微分方程教材

拉格朗日花了大量时间在代数方程和超越方程的解法上,在代数方程解法中有历史性贡献。在长篇论文"关于方程的代数解法的思考"中,把前人解三、四次代数方程的各种解法,总结为一套标准方法,而且还分析出一般三、四次方程能用代数方法解出的原因。三次方程有一个二次辅助方程,其解为三次方程根的函数,在根的置换下只有两个值;四次方程的辅助方程的解则在根的置换下只有三个不同值,因而辅助方程为三次方程。拉格朗日称辅助方程的解为原方程根的预解函数(是有理函数)。因而拉格朗日是群论的先驱。

拉格朗日在数论上也成果斐然,他在1772年证明了费马的另一个猜想:一个正整数能表示为最多四个平方数的和。又在1773年证明了著名的定理:n是质数的充要条件为(n-1)!+1能被n整除。

最后他还提出了著名的拉格朗日插值公式。直到现在计算机计算大量中点插值时仍在使用。另外在求多元函数相对极大极小及解微分方程中的拉格朗日任意乘子法,至今也在用。

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拉格朗日插值公式

近百余年来,数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一。

最后,由于拉格朗日当初为了研究等时曲线问题(一种特殊的曲线,把物体放在此曲线的任何位置,它都会在相同的时间内滑落到底部)而发明了一套全新的数学工具,那就是著名的变分法。我们来欣赏一下这个等时曲线吧。

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